چگونه بهترین موجک مادر را انتخاب کنیم؟

تبدیل ویولت چیست؟

همانطور که می دانید تبدیل فوریه، سیگنال را به پایه های سینوسی تجزیه می کند و می توان با گرفتن تبدیل فوریه از یک سیگنال در حوزه ی زمان، تنها به اطلاعات فرکانسی آن سیگنال دست پیدا کرد. اما تبدیل ویولت، یک سیگنال را به کمک مجموعه ای از موجک های پایه که به آن ها ویولت مادر می گوییم تجزیه می کند. مزیت تبدیل ویولت به تبدیل فوریه این است که موجک های پایه، دارای دو خاصیت اساسی یعنی مقیاس و موقعیت هستند. مقیاس به این معناست که کشیدگی یا فشردگی آن به چه میزانی باشد و موقعیت به جایگاه زمانی آن اشاره می کند. از این رو با گرفتن تبدیل ویولت از سیگنال، ضرایبی خواهیم داشت که هم حوزه ی زمان و هم حوزه ی فرکانس را پوشش می دهد و می توانیم بگوییم تبدیل ویولت، مولفه های زمانی-فرکانسی سیگنال را در اختیار ما قرار می دهد.

آنالیز ویولت

آنالیز ویولت یک فرایند ریاضی است که دیتا را به مولفه های متفاوت فرکانسی می شکند و سپس هر مولفه را با رزولوشن متناسب با مقیاسش مورد مطالعه قرار می دهد. یکی از مزیت های اصلی تبدیل ویولت، استخراج اطلاعات طیفی و زمانی بطور همزمان از سیگنال  است که در قسمت قبل به آن اشاره کردیم. مزیت دیگر آن، تنوع موجک های مادر است که می تواند برای آنالیز ویولت مورد استفاده قرار بگیرد. زمانی که از ویولت های مختلف مادر برای آنالیز یک سیگنال استفاده می کنیم، به نتایج متفاوتی دست خواهیم یافت. آنجاست که با چالش انتخاب موجک مادر روبه رو می شویم.

اهمیت انتخاب مناسب موجک مادر

انتخاب مناسب موجک مادر نقش کلیدی در آنالیز ویولت دارد. برای مثال در حذف نویز به کمک ویولت، انتخاب مناسب موجک مادر باعث می­شود قسمت اعظم توان یک سیگنال بر تعداد کمی از ضرایب ویولت متمرکز شود و از این رو جداسازی مولفه های نویزی  و سیگنال را با استفاده از آستانه گذاری، به آسانی ممکن می سازد.

چگونه بهینه ترین ویولت مادر را انتخاب کنیم؟

موجک های مادر با استفاده از خواصی که دارند در دسته بندی های مختلف تقسیم بندی می شوند. این مشخصه ها شامل : متعامد بودن، فشردگی، متقارن بودن و داشتن ممان محو شونده است. ویژگی های موجک مادر در انتخاب یک موجک مادر نقش اساسی دارد. با این وجود غالبا بیش از یک موجک مادر با خواص یکسان وجود دارد. به طور کلی برای حل چالش انتخاب موجک مادر می بایست شباهت بین سیگنال و موجک مادر را معیار قرار دهیم. هر چه شباهت میان موجک مادر و یک سیگنال خاص بیشتر باشد، تجزیه ی مولفه های سیگنال به ضرایب ویولت بهتر انجام می گیرد. روش های متعددی برای مشخص کردن شباهت بین سیگنال و موجک مادر بر اساس رویکرد کیفی و کمّی وجود دارد اما یک روش استاندارد یا کلی برای این انتخاب وجود ندارد.

رویکرد های کیفی برای انتخاب بهترین موجک مادر

در رویکردهای کیفی، برخی ویژگی های موجک های مادر مانند تقارن، تناوب، ممان محوشونده، درجه ی تغییر شیفت، تعامد و فشردگی به عنوان معیاری برای انتخاب موجک مادر مورد توجه قرار می گیرند و همچنین تصمیم گیری برای انتخاب موجک مناسب مادر با ارزیابی این مشخصه ها صورت می گیرد. در تحقیقات دیگری، بررسی چشمی انطباق شکل سیگنال با موجک مادر ملاک انتخاب قرار گرفته است.

رویکرد های کمّی برای انتخاب بهترین موجک مادر

موجک مادر در رویکردهای کمّی، بر اساس روش های دقیق ریاضی برگزیده می شود.

Minimum Description Length (MDL): یکی از معیار های انتخاب بهینه موجک مادر، ارزیابی مقدار مینیمم طول توصیف(MDL) است. رویکرد این معیار، ایجاد مصالحه بین صحت نتایج تخمینی داده و کیفیت نمایش سیگنال است.

Maximum cross-correlation: ضریب ماکزیمم همبستگی متقابل معیار رایج دیگری است که برای انتخاب بهترین موجک مادر در پژوهش ها به کار رفته است.

Symmetric Distance Coefficient (SDC): شباهت موجک مادر با حالت گذرای یک سیگنال بر اساس این ضریب محاسبه می شود. در حقیقت می توان گفت ضرایب ویولت یک حالت گذرا که شکل مشابهی با یک موجک مادر دارد، متقارن هستند.

Compression Ratio (CR): تکنیک دیگر، محاسبه ی ماکزیمم نسبت فشردگی در کاربردهایی خاص و برای برخی از سیگنال ها به عنوان ملاکی برای انتخاب بهترین موجک مادر در برخی منابع ذکر شده است.

Information Quality Ratio (IQR): نسبت کیفیت اطلاعات، متریک جدیدی است که به تازگی برای انتخاب ویولت مادر معرفی شده است. پیشنهاد این متریک بر اساس این ایده مطرح شده که سیگنال های بازسازی شده می بایست اطلاعات ضروری سیگنال  اصلی را حفظ نمایند.

Peak Signal to Noise Ratio (PSNR)+ Mean Squared Error (MSE): روش ترکیب ماکزیمم نسبت نویز به سیگنال و خطای میانگین مربع و گزارش ماکزیمم خطا نیز برای انتخاب بهترین موجک مادر نیز مطرح شده است. در این روش باید بر اساس فرایندهای بازگشتی آنالیز، به هر معیار، وزنی اختصاص داد.

توجه

پس از اینکه در یک تحقیق از رویکردهای ذکر شده برای انتخاب مناسب موجک مادر استفاده کردید و در نهایت بهینه ترین موجک مادر را برگزیدید به یاد داشته باشید که این موجک مادر برای تمام تحقیقات و آنالیزهای مبتنی بر ویولت، مناسب و بهینه نخواهد بود چرا که در هر پژوهشی، نوع سیگنال ورودی متفاوت است. به عبارتی در هر پژوهشی، بسته به سیگنال ورودی، شباهت آن سیگنال با موجک های متفاوت مادر باید در نظر گرفته شود. مثلا برای پردازش های سیگنال های EEG، شاید موجک دانشینز انتخاب مناسبی باشد اما برای کاربردهایی مانند حذف نویز تصویر، موجک هار ممکن است نتایج بهتری را ارائه دهد.

منبع